Bonjour,
c'est une expression très ancienne puisque je l'ai trouvé employé dans le livre "Histoire du Comté de Bourgogne" de F. de Charnage qui est daté de 1737
on la retrouve dans nombres d'ouvrages plus récents "Nouveau dictionnaire de la conversation" de 1845 où l'on précise que le deuil pour un oncle à la mode de Bourgogne est de 11 jours
Mais je n'ai jamais trouvé de définition exacte mise à part celle que vous trouverez en faisant une recherche sur Internet
"cousin germain du père ou de la mère"
Il ne fait pas de doute que l'oncle (ou tante, plus rare) à la mode de Bourgogne est bien le cousin germain du père ou de la mère.
J'ai plusieurs documents (notamment des nominations de curateurs) qui le confirme sans équivoque, avec précision "du côté paternel" ou "du côté maternel" selon le cas.
Rappelons qu'il y a très longtemps les notions de "frères" et de "cousins" n'étaient pas distinctes (voir les "frères" de Jésus qui pourraient être ses cousins).